Прямая и плоскость в пространстве

Точка пересечения прямой с плоскостью.

Пусть плоскость Q задана уравнением общего типа: Ax+By+Cz+D=0, а прямая L в параметрическом виде: x=x₁+mt, y=y₁+nt, z=z₁+pt, тогда чтобы найти точку пересечения прямой L и плоскости Q, нужно найти значение параметра t, при котором точка прямой будет лежать на плоскости. Подставив значение x, y, z, в уравнение плоскости и выразив t, получим

Значение t будет единственным, если прямая и плоскость не параллельны.

Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости

Рассмотрим прямую L: и плоскость α: Ax+By+Cz+D=0.
Прямая L и плоскость α:
а) перпендикулярны друг другу тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости коллинеарны, т. е.

б) параллельны друг другу тогда и только тогда, когда векторы и перпендикулярны, т. е.
и Am + Bn + Ср = 0.

Угол между прямой и плоскостью.

Угол α между нормальным вектором плоскости и направляющим вектором прямой вычисляется по формуле:

Пучок плоскостей

Совокупность всех плоскостей, проходящих через заданную прямую L, называется пучком плоскостей, а прямая L - осью пучка. Пусть ось пучка задана уравнениями

Почленно умножим второе уравнение системы на постоянную и сложим с первым уравнением:
A₁x+B₁y+C₁z+D₁+ λ(A₂x+B₂y+C₂z+D₂)=0.

Это уравнение имеет первую степень относительно х, у, z и, следовательно, при любом численном значении λ определяет плоскость. Так как данное уравнение есть следствие двух уравнений, то координаты точки, удовлетворяющие этим уравнениям будут удовлетворять и данному уравнению. Следовательно, при любом численном значении λ данное уравнение есть уравнение плоскости, проходящей через заданную прямую. Полученное уравнение есть уравнение пучка плоскостей.

Пример 33. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M₁(2, -3, 4) параллельно прямым

Решение. Запишем уравнение связки плоскостей, проходящих через данную точку M₁:
А (х - 2) + В (у + 3) + C(z - 4) = 0.

Так как искомая плоскость должна быть параллельна данным прямым, то ее нормальный вектор должен быть перпендикулярен направляющим векторам этих прямых. Поэтому в качестве вектора N можно взять векторное произведение векторов :

Следовательно, А = 4, В = 30, С = - 8. Подставляя найденные значения А, В, С в уравнение связки плоскостей, получим
4(x-2)+30(y + 3) -8(z-4) =0 или 2x + 15у - 4z + 57 = 0.

Пример 34. Найти точку пересечения прямой и плоскости 2х + 3y-2z + 2 = 0.

Решение. Запишем уравнения данной прямой в параметрическом виде:

Подставим эти выражения для х, у, z в уравнение плоскости:
2(2t+1)+3(3t-1)-2(2t+5)+2=0 Þ t=1.
Подставим t = 1 в параметрические уравнения прямой. Получим

Итак, прямая и плоскость пересекаются в точке М(3, 2, 7).

Пример 35. Найти угол φ между прямой  и плоскостью 4x-2y-2z+7=0.
Решение. Применяем формулу (3.20). Так как то

Следовательно,φ = 30°.

Пример 36. Найти уравнение плоскости, проходящей через прямую
и точку M₁(1,-2,3).

Решение. Запишем уравнение пучка плоскостей, проходящих через данную прямую:
2х + 3у - 5z + 1 + (3x- у + z + 28) = 0.

Подставив в уравнение пучка координаты точки М₁. найдем значение λ:

Подставив в уравнение пучка, получим уравнение искомой плоскости:
или 7х + 5y - 9z + 30 = 0.

Задачи для самостоятельного решения.

1. При каком значении n прямая параллельна плоскости 2х +4 -6z +7=0 ?

2. При каких значениях В и D прямая лежит в плоскости 4х + By - 2z + D = 0?

3. При каких значениях m и А прямая перпендикулярна плоскости Ах -2у + Зz- 5 = 0?

4. Найти угол между прямой и плоскости 6x-3y-3z+1=0.

5. Найти точку пересечения прямой и плоскости Зх-4у+5z+16=0.

Контрольная работа.

Вариант 1.

1. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку пересечения плоскостей 2x+2y+z-7=0, 2x-y+3z-3=0, 4x+5y-2z-12=0 и через точки М(0;3;0) и N(1;1;1).

2. Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей x+5y+9z-13=0, 3x-y-5z+1=0 и через точку М(0;2;1).

3. Составить параметрические уравнения прямых, проведенных через точку M₁(5, -1, -4),
причем прямая перпендикулярна плоскости х + 2у + Зz -5 = 0.

4. Составить канонические уравнения сторон треугольника с вершинами Р(2, - 4, 3), Q (4,6,7), R(5,2, - 8) и уравнения его медианы, проведенной из вершины R.

5. Найти проекцию точки Р(3,2,-1) на плоскость x - 5у + 4z - 31 = 0.
6. Составить уравнение плоскости, которая проходит через прямую и через точку Q(4, -2, -3).

Вариант 2.

1. Составить уравнение плоскости , проходящей через линию пересечения плоскостей x+2y+3z-5=0 и 3x-2y-z+1=0 и отсекающей равные отрезки на осях Ох и Оz.

2. Составить уравнение плоскости , проходящей через линию пересечения плоскостей 2x-y-12z-3=0 и 3x+y-7z-2=0 и перпендикулярной плоскости x+2y+5z-1=0.

3. Составить параметрические уравнения прямых:

4. Найти проекцию точки Р(3,2,-1) на плоскость x - 5у + 4z - 31 = 0.

5. Составить уравнение плоскости, которая проходит через прямуюи параллельно оси Ох.

Вариант 3.

1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(0,2,1) и параллельной векторам

2. Какой угол образует с плоскостью x+y+2z-4=0 вектор

3. Найти углы между двумя прямыми в каждом из следующих случаев:
  и   

4. Найти точку, симметричную точке Р(2, -4,5) относительно прямой

5. Составить уравнение плоскости, которая проходит через прямую и параллельно оси Оу.