Определители и их свойства

Определители 2-го и 3-го порядков.

Будем рассматривать квадратные матрицы

Определители являются основными числовыми характеристиками квадратных матриц.

Определителем (детерминантом) матрицы

состоящей из одного числа , называется само это число.

Определителем матрицы А= второго порядка называется число, равное разности произведений элементов главной и побочной диагоналей:

Рассмотрим матрицу третьего порядка:

Определителем матрицы A третьего порядка называется число

Данная формула называется формулой разложения определителя 3 порядка по элементам первой строки.

Пример 6. Вычислить определители заданных матриц:

Решение :

Решение:

Решение.

В первой строке определителя уже есть два нулевых элемента. Преобразуем определитель так, чтобы еще два элемента этой строки обратились в ноль. Сделать это можно путем преобразований столбцов. Оставим без изменения 2-й и 5-й столбцы (там уже стоят нули). К 3-му столбцу прибавим 1-й, умноженный на -2, к 4-му ~ первый, умноженный на 1. При этом первый столбец в преобразованном определителе останется без изменения.

Теперь разложим определитель по элементам первой строки:

В полученном определителе четвертого порядка преобразуем к нулю первые три элемента 1-й строки с помощью последнего 4-гo столбца: к 1-му прибавим 4-й, умноженный на 3, 2-ой преобразовывать не нужно, к 3-му прибавим 4-ый, умноженный на -1.

Разложим этот определитель по элементам первой строки:

Полученный определитель третьего порядка можно вычислить по правилу треугольников, однако проще и здесь, получив нули (легче всего в первом столбце), свести дело к определителю второго порядка. Ко 2-ой строке прибавим 1-ю, умноженную на -4, 3-й – первую, умноженную на 3:

Разлагаем определитель по элементам первого столбца:

И здесь можно упростить вычисления: ко 2-ой строке прибавим 1-ую, затем ко 2-му столбцу прибавим 1-ый, умноженным на 2:

Замечание 4.При использовании свойства 8, следует иметь в виду, что в преобразованном определителе меняется только та строка, к которой прибавляется другая (аналогично для столбцов). Так, если, например, к 3-ий строке прибавляется 1-ая, умноженная на 2, то в преобразованном определителе первая строка останется в неизменном виде, меняется только 3-я строка.

Определитель n-ого порядка.

Определителем квадратной матрицы порядка n называется число:

Свойства определителей:

Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.
Если в определителе какие-либо две строки (столбца) равны между собой, то такой определитель равен 0.
Общий множитель всех элементов какой-либо строки (или столбца) можно выносить за знак определителя.
Если поменять в определителе местами какие-либо две строки (столбца), то определитель меняет знак.
Если все элементы какой-либо строки (столбца) определителя равны 0, то такой определитель равен 0.
Если к элементам какой-либо строки (столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца) этого же определителя, умноженные на одно и то же число, то определитель не изменяется.

Миноры, алгебраические дополнения матрицы.

Минором M_ij, соответствующим данному элементу определителя 3 порядка, называется определитель второго порядка, полученный из матрицы вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца. Тогда формулу для вычисления определителя 3 порядка можно переписать в виде:

Если элементы матрицы отметить точками, то получим правило треугольников:

(+)	(-)

Слагаемые со знаком плюс представляют собой произведение элементов определителя, взятых по три так, как указано линией на левой части рисунка, а со знаком минус - на правой части.

Алгебраическим дополнением элемента определителя 3-го порядка называется его минор, взятый со знаком плюс, если (i+j) - четное число, и со знаком минус, если (i+j) - нечетное число, т.е.